ワテのブログ

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2010年8月3日火曜日

ベジェ曲線による円の近似

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三次のベジェ曲線で円を近似することを考える。
三次のベジェ曲線は
$$B(t)=(1-t)^3P_0+3(1-t)^2tP_1+3(1-t)t^2P_2+t^3P_3$$ である。
円を一つのベジェ曲線で近似できないので、四分の一の弧を近似する。
今、
$$P_0=(r,0)$$
$$P_1=(p,q)$$
$$P_2=(q,p)$$
$$P_3=(0,r)$$
とする。
この曲線は、$$θ=\frac{π}{4}$$の円上の点
$$Q=(\frac{\sqrt{2}}{2}r,\frac{\sqrt{2}}{2}r)$$
を通る。
この点Qについて考えると、三次ベジェ曲線の定義から、
線分P0P1の中点A
線分P1P2の中点B
線分P2P3の中点C
とすると、
線分ABの中点と線分BCの中点を結んだ線分の中点がQとなる。
線分ABの中点は、
$$I=(\frac{2p+r+q}{4},\frac{p+2q}{4})$$
となる。
線分BCの中点は、
$$J=(\frac{p+2q}{4},\frac{2p+r+q}{4})$$
となる。
線分IJの中点がQとなるので、そこから、
$$p+q = \frac{(4\sqrt{2}-1)r}{3}$$
の関係式が算出できる。
四分の一の弧であることを考えると
$$p=r$$
であることがわかる。
従って、
$$q = \frac{4(\sqrt{2}-1)r}{3}$$
となる。
よって、
$$P_0=(r,0)$$
$$P_1=(r,\frac{4(\sqrt{2}-1)r}{3})$$
$$P_2=(\frac{4(\sqrt{2}-1)r}{3},r)$$
$$P_3=(0,r)$$
である。

ベジェ曲線の原理についてはここを参照
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